3*16^x+2*81^x=5*36^x

3 * 16^x + 2 * 81^x = 5 * 36^x;

Для возведения в степень основания в степени, надо перемножить степени. Тогда имеющиеся основания можно представить:

3 * (2⁴) ^x + 2 * (3⁴) ^x = 5 * (6²) ^x;

3 * 2^4x + 2 * 3^4x = 5 * (2 * 3) ^2x;

3 * 2^2x * 2^2x + 2 * 3^2x * 3^2x = 5 * 2^2x * 3^2x;

Разделим левую часть на правую на 2^2x * 3^2x:

(3 * 2^2x * 2^2x + 2 * 3^2x * 3^2x) / (2^2x * 3^2x) = 5;

(3 * 2^2x * 2^2x / 2^2x * 3^2x) + (2 * 3^2x * 3^2x / 2^2x * 3^2x) = 5;

(3 * 2^2x / 3^2x) + (2 * 3^2x / 2^2x) = 5;

Пусть t = 2²^x / 3²^x

(3 * t) + (2 / t) = 5;

3 * t² + 2 = 5 * t;

3 * t² - 5 * t + 2 = 0;

Уравнение вида: a * x² + b * x + c = 0, где а = 3; b = - 5; с = 2, может иметь 2 решения:

t₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (5 - √‾ ((-5) ² - 4 * 3 * 2)) / (2 * 3) = (5 - √‾ (25 - 24)) / 6 = (5 - √‾ (1)) / 6 = (5 - 1) / 6 = 4 / 6 = 2/3.

t₂ = ( - b + √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (5 + √‾ ((-5) ² - 4 * 3 * 2)) / (2 * 3) = (5 + √‾ (25 - 24)) / 6 = (5 + √‾ (1)) / 6 = (5 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1.

t₁ = 2²^x / 3²^x = 2/3 = 2¹/3¹;

2 * х = 1;

х = 1/2.

t₂ = 2²^x / 3²^x = 1 = 2⁰ / 3⁰;

2 * х = 0;

х = 0/2 = 0.

Уравнение имеет 2 решения: х = 1/2 и х = 0.