Решите уравнение: x^lnx=x*e^2

Прологарифмировав уравнение по основанию e, получим:

ln (x) * ln (x) = ln (x) + 2.

ln^2 (x) - ln (x) - 2 = 0.

Произведем замену переменных t = ln (x):

t^2 - t - 2 = 0.

Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (1 + - √ (1 - 4 * 1 * (-2)) / 2 * 1 = (1 + - 3) / 2.

t1 = (1 - 3) / 2 = - 1; t2 = (1 + 3) / 2 = 2.

Обратная замена:

ln (x) = - 1;

x = e^ (-1) = 1/e.

ln (x) = 2;

x = e^2.

Ответ: x принадлежит {1/e; e^2}.