Найдите значение выражения x/y + y/x если x+y=4 xy=2

1. Имеем систему уравнений:

{ x + y = 4 (1);

{ x * y = 2 (2);

2. Выражаем из уравнения (1) y через x и подставим в уравнение (2):

{ y = 4 - x (1);

{ x * (4 - x) = 2 (2);

3. Решаем уравнение (2):

4 * x - x^2 - 2 = 0;

x^2 - 4 * x + 2 = 0;

D = ( - 4) ^2 - 4 * 1 * 2 = 8;

x1 = (4 + 2 √ 2) / 2 = 2 + √ 2;

x2 = (4 - 2 √ 2) / 2 = 2 - √ 2;

4. Вычисляем y1 и y2:

y1 = 4 - (2 + √ 2) = 2 - √ 2;

y2 = 4 - (2 - √ 2) = 2 + √ 2;

5. Вычисляем x / y + y / x при x1 = 2 + √ 2 и y1 = 2 - √ 2:

(2 + √ 2) / (2 - √ 2) + (2 - √ 2) / (2 + √ 2) = (2 + √ 2) ^2 / 2 + (2 - √ 2) ^2 / 2 = (4 + 4 √ 2 + 2 + 4 - 4 √ 2 + 2) / 2 = 6;

6. Вычисляем x/y + y/x при x2 = 2 - √ 2 и y2 = 2 + √ 2:

(2 - √ 2) / (2 + √ 2) + (2 + √ 2) / (2 - √ 2) = (2 - √ 2) ^2 / 2 + (2 + √ 2) ^2 / 2 = (4 - 4 √ 2 + 2 + 4 + 4 √ 2 + 2) / 2 = 6;

7. Ответ: x / y + y / x = 6.