Найдите площадь треугольника A (1; 0) B (0; 4) C (3; 3)

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками А и B на координатной плоскости с координатами А (х1; у1) и B (х2; у2):

|AB| = √ ((х1 - х2) ² + (у1 - у2) ²),

и найдем длины всех сторон данного треугольника:

|AB| = √ ((1 - 0) ² + (0 - 4) ²) = √ (1² + 4²) = √ (1 + 16) = √17;

|BC| = √ ((0 - 3) ² + (4 - 3) ²) = √ (3² + 1²) = √ (9 + 1) = √10.

|AC| = √ ((1 - 3) ² + (0 - 3) ²) = √ (2² + 3²) = √ (4 + 9) = √13.

Для вычисления площади треугольника по трем сторонам этого треугольника воспользуемся известной формулой Герона:

S = √ (р * (р - а) * (р - b) * (p - c)),

где а, b и с - длины сторон этого треугольника, а р - полупериметр этого треугольника, равный р = (а + b + с) / 2.

Находим полупериметр треугольника ABC:

р = (|AB| + |BC| + |AC|) / 2 = (√17 + √10 + √13) / 2.

Находим площадь треугольника ABC:

S = √ (р * (р - |AB|) * (р - |BC|) * (p - |AC|)) = √ ((√17 + √10 + √13) / 2) * ((√10 + √13 - √17) / 2) * ((√17 + √13 - √10) / 2) * ((√10 + √17 - √13) / 2)) = √ ((√17 + √10 + √13) * (√10 + √13 - √17) * (√17 + √13 - √10) * (√10 + √17 - √13)) / 4.

Ответ: площадь данного треугольника составляет √ ((√17 + √10 + √13) * (√10 + √13 - √17) * (√17 + √13 - √10) * (√10 + √17 - √13)) / 4.