Решение уравнения через факториал (x+17) !=420 (х+15) !

(x + 17) ! = 420 (х + 15) !

Разделим правую и левую части уравнения на (х + 15) !

^(x ⁺ ^{17) !} / _(х ₊ _{15) !} = ^{420 (х} ⁺ ^{15) !} / _(х ₊ _{15) !}.

ОДЗ: (х + 15) ! ≠ 0, где (х + 15) ! - множество целых неотрицательных чисел.

Разложим (x + 17) ! по определению факториала.

(x + 17) ! = (х + 15) ! (х + 16) (х + 17).

Сократим правую и левую части уравнения.

^(х ⁺ ^{15) ! (х + 16) (х + 17)} / _(х ₊ _{15) !} = ^{420 (х} ⁺ ^{15) !} / _(х ₊ _{15) !};

(х + 16) (х + 17) = 420;

Раскроем скобки и перенесём 420 вправо от знака равенства.

х² + 16 х + 17 х + 16 ∙ 17 - 420 = 0.

Решим квадратное уравнение х² + 33 х + 272 - 420 = 0.

х² + 33 х - 148 = 0;

D = b² - 4ac = 33² - 4 ∙ ( - 148) = 1089 + 592 = 1681;

x₁ = ^{- b - √D} / _2a = ^{- 33 - √1681} / ₂ = ^{- 33 - 41} / ₂ = ^{- 74} / ₂ = - 37 ∉ ОДЗ, так как (-37 + 15) ! = (-12) !, что невозможно.

x₂ = ^{- b + √D} / ₂_a = ^{- 33 + √1681} / ₂ = ^{- 33 + 41} / ₂ = ⁸ / ₂ = 4.

Ответ: х = 4.