A, b, c - натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a3 + b3 + c3 тоже делится на 6.

По условию задания, сумма трёх натуральных чисел a, b и c делится на 6. Требуется доказать, что сумма их кубов также делиться на 6. Очевидно, что если a + b + c делится на 6, то (a + b + c) ³ также делится на 6. Используя формулу сокращенного умножения (a + b) ³ = a³ + 3 * a² * b + 3 * a * b² + b³ (куб суммы) дважды, а также формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), преобразуем (a + b + c) ³ = ((a + b) + c) ³ = (a + b) ³ + 3 * (a + b) ² * с + 3 * (a + b) * с² + с³ = a³ + 3 * a² * b + 3 * a * b² + b³ + 3 * (a² + 2 * a * b + b²) * с + 3 * (a + b) * с² + с³ = a³ + b³ + с³ + 3 * (a² * b + a * b² + a² * с + 2 * a * b * с + b² * с + a * с² + b * с²). Тогда, получим: a³ + b³ + с³ = (a + b + c) ³ - 6 * a * b * с - 3 * (a² * b + a * b² + a² * с + a * с² + b² * с + b * с²). Очевидно, что первые два слагаемых правой части последнего равенства делятся на 6. Докажем, что выражение в скобках чётное число. Рассмотрим возможные 4 случая: а) a, b и c нечётные числа; б) среди чисел a, b и c два нечётных одно чётно; в) среди чисел a, b и c одно нечётно два чётных и г) a, b и c чётные. Справедливости ради отметим, что если a + b + c делится на 6, то случаи а) и в) отпадают. Однако, мы докажем, что выражение в скобках, для любых натуральных a, b и c, чётное число. В случае а) ясно, что все 6 слагаемых суммы нечётные, однако их сумма чётна, так как суммируется чётное количество нечётных чисел. В случае б) 2 из 6 слагаемых суммы нечётные, а 4 чётные, следовательно, сумма 6 слагаемых чётна. В случаях в) и г) все 6 слагаемых чётные. Что и требовалось доказать.