Какой частью речи является "за" в предложении: "За круглым столом, под большой лампой, сидели с книгами матушка и Аркадий Иванович."

Разберем предложение по членам:

(Кто?) матушка и Аркадий Иванович - однородные подлежащие (имена существительные).

Матушка и Аркадий Иванович (Что делали?) сидели - сказуемое (глагол).

Сидели (С чем?) с книгами - дополнение (имя существительное).

Сидели (Где?) за столом - обстоятельство (имя существительное).

Столом (Каким?) круглым - определение (имя прилагательное).

Сидели (Под чем?) под лампой - дополнение (имя существительное).

Лампой (Какой?) большой - определение (имя прилагательное).

В данном предложении "ЗА" - это предлог.