стали учиться - какой член в предложении?

Давайте поставим "стали учиться" в предложение: они (что сделали?) стали учиться.

На вопрос, связанный с действием, совершенным предложением отвечает сказуемое. При этом надо понимать, что существуют разные типы сказуемоего:

простое глагольное сказуемое; составное сказуемое, которое делится на составное глагольное сказуемое и составное именное сказуемое.

Именно к составному глагольному сказуемому и относится "стали учиться". Оно состоит из вспомогательного глагола, который несет грамматическое значение (глагол, обозначающий начало процесса - стали) и глагола в неопределенной форме, который несет лексическое значение (учиться).