По слогам попугай и попугаи

Количество слогов в слове определяется количеством в нём гласных букв.

В слове "попугай" три гласные буквы (о, у, а), поэтому в нём три слога: по - пу - гай.

В слове "попугаи" четыре гласные буквы (о, у, а, и), значит, в нём четыре слога: по - пу - га - и.