Определить падеж местоимения меня в предложении: И вот сестра догадалась на прогулки брать меня.

Определим падеж местоимения:

(Кто?) сестра - подлежащее (имя существительное, именительный падеж).

Сестра (Что сделала?) догадалась брать - составное глагольное сказуемое (глаголы).

Догадалась брать (Куда?) на прогулки - обстоятельство (имя существительное).

Догадалась брать (Кого?) меня - дополнение (местоимение, родительный падеж).