Как правильно говорить: Я побежду? или я побежу?

Оба варианта являются неверными, потому что глагол "победить" не имеет формы 1 лица, единственного числа; в остальных лицах и числах изменяется так:

Ты победишь (2 лицо, единственное число).

Он, она, он победит (3 лицо, единственное число).

Мы победим (1 лицо, множественное число).

Вы победите (2 лицо, множественное число).

Они победят (3 лицо, множественное число).

Примеры предложений:

Я уверена, что мы победим в этом состязании, хотя и соперники у нас достойные. Вы победите, если приложите немного усилий.

Не побежду не побежу говорить нельзя, таких слов просто нет. У слова победа - нет глаголов. Правильно будет сказать я выиграю или одержу победу.