Правописание слова синем?

Слово "синем" стоит в творительном падеже и образовано от слова "синий". Слово состоит из 2-х слогов, "си" и "нем", ударение падает на первый слог, на букву "и". Слово "синий", является словарным, и всегда пишет с буквой "и" в первом слоге, поэтому его написание следует запомнить, проверить это слова нельзя. Во втором слоге пишется буква "е", так как творительный падеж отвечает на вопросы "кем?" и "чем?", и окончания слов в творительном падеже "ем" и "ом". В нашем случаем "ем", поэтому пишется "е".