Какая орфограмма в слове навек? Именно в слитном написании

Навек - наречие. Это словарное слово, пишется слитно, не изменяется. Его правописание нужно запомнить. Значение - навсегда, всегда, безвозвратно.

Старый моряк навек потерял доверие всей команды, он не помог человеку за бортом.

Он ушел навек, больше никогда не вернется, не помашет рукой.

Не нужно путать наречие "навек" со словосочетанием "на век" (предлог и существительное). В этом случае можно между ними вставить слово. Также "век" бывает и в форме множественного числа: на века.

Не закончились приключения на наш век.