Как правильно будишь будешь

Будишь и будешь - два совершенно разных по лексическому значению глагола. Они оба существуют в русском языке, их употребление полностью зависит от контекста предложения.

1. Будешь (что сделаешь?) - глагол во втором лице единственного числа, будущее время.

Ты в десять часов вечера будешь смотреть фильм о знаменитых музыкантах?

2. Будишь (что делаешь?) - глагол во втором лице единственного числа, настоящее время.

Когда ты будишь кота, он недовольно морщится, открывает сначала левый глаз, потом правый.