Каким членом предложения является от радости в каждом из приведённых примеров? От радости он даже запрыгал. От радости не осталось и следа.

Чтобы определить, каким членом предложения является указанное слово, зададим к нему вопрос от главного слова как к члену предложения, а не части речи.

От радости он даже запрыгал.

Запрыгал (почему?) от радости - обстоятельство, выражено именем существительным.

От радости не осталось и следа.

Следа (какого?) от радости - определение, выражено именем существительным.