Найдите грамматическую основу в предложении Увидев на одном из домов вывеску "Институт русского языка Российской Академии наук ", они удивились - такой странной показалась им мысль, что целый институт может заниматься изучением понятного даже им языка!

Разберем предложение по членам:

(Кто?) они - подлежащее (местоимение).

Они (Что сделали?) удивились - сказуемое (глагол).

Удивились (Как?) увидев на одном из домов вывеску "Институт русского языка Российской Академии наук" - развернутое обстоятельство (деепричастный оборот).

(Что?) мысль - подлежащее (имя существительное).

Мысль (Что сделала?) показалась - сказуемое (глагол).

Показалась (Кому?) им - обстоятельство (местоимение).

Показалась (Какой?) странной - определение (имя прилагательное).

(Что?) институт - подлежащее (имя существительное).

Институт (Что делает?) может заниматься изучением - сказуемое (глаголы).

Институт (Какой?) целый - определение (имя прилагательное).

Изучением (Чего?) языка - дополнение (имя существительное).

Языка (Какого?) понятного даже им - развернутое определение (причастный оборот).

В предложении три грамматические основы: они удивились, мысль показалась, институт может заниматься изучением.