орфограмма "Парный согласный в корне", как проверить частый? корень в слове легонько

В слове "частый" в корне парным согласным является буква "с". Если бы она была мягкой, потребовались бы однокоренные слова. В данном случае она твердая, поэтому четко слышится в любых однокоренных словах - часто, частенько, зачастили. При этом между "с" и "т" мы не ставим мягкий знак, потому что за твердый слогом "час" идет твердый слог "ты".

Что касается корня в слове "легонько", что проверяемой буквой будет "е" (корень - лег). Делаем букву ударной, подбирая однокоренные слова. Лёгких, лёгок, лёгонький. Значит, буква "и" исключается из корня.