Какой частью речи является выделенное слово и как подчеркнуть? Нигде ни скрипнет ни ОДНА веточка.

Разберем предложение по членам, определим часть речи каждого члена:

(Что?) веточка - подлежащее (имя существительное).

Подчеркивается одной сплошной линией.

Веточка (Что сделает?) не скрипнет - сказуемое (глагол).

Подчеркивается двумя сплошными линиями.

Не скрипнет (Где?) нигде - обстоятельство (местоимение).

Подчеркивается линией "тире-точка-тире".

Веточка (какая?) ни одна - определение (имя прилагательное).

Подчеркивается волнистой линией.

Таким образом, "ни одна" в данном контексте является именем прилагательным.