Какой из данных вариантов продолжения предложения синтаксически неверен? Немного отдохнув, 1) мы двинулись в обратный путь. 2) следует вернуться к упражнениям. 3) мысли лучше идут на ум.

Первый вариант звучит нормально и может относится к рассказу от первого лица: Немного отдохнув, мы двинулись в обратный путь.

Второй вариант также приемлем. Это может быть рассуждение (обращение) в безличной форме: Немного отдохнув, (нам, вам, мне ...) следует вернуться к упражнениям.

А вот третье продолжение никуда не годится. Деепричастный оборот ("немного отдохнув") "повисает в воздухе" (он не согласуется с главным предложением) и логически не может быть разрешён, выражение не находит субъекта действия (если только не предположить в виде гротескного юмора, что это "мысли немного отдохнули"). Правильным будет сказать, сохраняя смысл высказывания: После небольшого отдыха - мысли лучше идут на ум.