Какие буквы должны стоять в пропусках: на т ... лстенн ... й ветке

В прилагательном женского рода, единственного числа, предложного падежа "на толстенной" пишется окончание "ой", потому что оно отвечает на вопрос "на какой?"; написание безударной "о" в корне проверяется однокоренным прилагательным "толстый".

Примеры на орфограммы:

Домашний - дом (в корне без ударения пишется гласная "о"). Копать - копка (в корне без ударения пишется гласная "о"). Мостовой - мост (в корне без ударения пишется гласная "о").

На жаркой ("на какой?", окончание "ой"). На больной ("на какой?", окончание "ой"). На смотровой ("на какой?", окончание "ой").