Климат становился то теплее, то холоднее (теплее) какая часть речи?

Для того, чтобы понять, к какой части речи относится слово "теплее" в предложении, нужно узнать, каким членом оно там является и к какому слову относится, то есть какое слово характеризует.

"Теплее" дано в форме сравнительной степени, в подобном виде в сравнительной степени выглядят три части речи: прилагательное, слово категории состояния (СКС) и наречие.

СКС всегда в предложении является сказуемым и никогда ни от чего не зависит, оно главное в предложении:

На улице тепло. На улице теплее.

Наречие в предложении является обстоятельством (очень редко частью сказуемого), к нему всегда задаётся вопрос от глагола:

Он со мной говорил (как?) тепло. Но с тобой говорил (как?) теплее.

Прилагательное в предложении может быть определением либо частью составного именного сказуемого, но всегда характеризует существительное или местоимение-существительное, то есть подлежащее или дополнение.

Моя шуба (какая?) тёплая. Твоя шуба (какая?) теплее.

В задании в предложении слово "теплее" является прилагательным, так как относится к составной части сказуемого и характеризует подлежащее:

Климат становился (каким?) то теплее, то холоднее.