Без неё можно быть, когда в кого-то влюблён. Из неё может выпадать что-то очень важное. Иногда она может подвести или изменить. А ещё она бывает свежей, старой или вечной. Что же это?

В приведённом задании речь явно идёт о слове "память".

Влюблён без памяти; визит к врачу выпал из памяти; память подвела; память изменила; свежая память; старая память; вечная память героям.

Если следовать логике рассудка, то ответ очевиден. В загадке говорится о слове "память".