Какой корень в словах пирогИ и пирОги

Для того чтобы определить корни в данных словах, необходимо сделать две вещи. Первое - определить значение данных слов. Пироги, пирог - это вид выпечки. Пирога - вид плавательного средства, лодки у индейцев. Второе - подобрать однокоренные слова. Пирог: пир, пировать, пирожок, пирожное. Здесь мы видим, что корень - ПИР-. Ко второму слову однокоренных слов подобрать нельзя, но можно изменить слово и узнать корень: пирога (именительный падеж, единственное число), пироги (родительный падеж, ед. число), пироге (дательный п., ед. число), пирогу (винительный п., ед. ч.), пирогой (творительный п., ед. ч.), (о) пироге (предложный падеж, ед. ч.), пироги (именит. п. множественное число). Здесь мы видим, что корень - ПИРОГ-.