Морфологический разбор слов закашлялся заговорил

Закашлялся-это глагол, отвечает на вопрос (что сделал?) закашлять Прош. вр, ед. ч., сказуемое.

Заговорил-это глагол, отвечает на вопрос (что сделал?) заговорить

прош, вр., Ед. ч, сказуемое.

Часть речи

Часть речи слова закашлялся - глагол.

Морфологические признаки

Начальная форма: закашляться (инфинитив);

Постоянные признаки: 1-е спряжение, непереходный, совершенный вид;

Непостоянные признаки: изъявительное наклонение, единственное число, прошедшее время, мужской род.

Синтаксическая роль

Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту.