Какого склонения слово скуки

Начальная форма слова "скуки" - "скука" - это существительное женского рода с окончанием - а.

Склонение имени существительного - постоянный грамматический признак, указывающий на особенности изменения (склонения) существительных по падежам и числам. Склонение определяется по окончанию и роду.

По окончаниям существительных в начальной форме определяется их принадлежность к одному из склонений.

Существительные женского рода с окончанием - а, относятся к первому склонению.

Например: женщина, папа, жадина.

Таким образом, слово "скуки" относится к первому склонению.