Какое слово или слова, являются основной частью в предложении: Мне довелось написать много разных книг?

Основная часть предложения (то есть грамматическая основа) складывается из подлежащего и сказуемого.

Разберем предложение по членам:

(Что сделало?) довелось написать - сказуемое (глаголы).

Довелось написать (Кому?) мне - дополнение (местоимение).

Довелось написать (Что?) много книг - дополнение (наречие + имя существительное).

Много книг (Каких?) разных - определение (имя прилагательное).

Грамматическая основа данного предложения состоит только из сказуемого (односоставное предложение), в нем и содержится основная мысль сказанного.