Как правильно - отчаянИе или ОтчаянЬе? И если можно коротенькое обьяснение?"

Правильный вариант написания: отчаяние. Чтобы понять почему именно так пишется, стоит сделать морфемный разбор слова "отчаяние". В данном случае корень будет "отча", "я" - это суффикс, "ни" - тоже является суффиксом. Окончание у слова "е". Теперь можно увидеть, что написание связанно с суффиксом "ни", это единственный возможный вариант, так как суффикса "нь" не существует в русском языке.