А при прощании все бывает особенно ласково ... разбор по членам

Разберем предложение по членам, укажем части речи каждого члена:

(Что?) все - подлежащее (местоимение).

Все (Что делает?) бывает - сказуемое (глагол).

Бывает (Как?) особенно ласково - сложное обстоятельство (наречия).

Бывает (Когда?) при прощании - обстоятельство (имя существительное).

Грамматическая основа - все бывает.