В каком из словосочетаний имя прилагательное стоит в начальной форме: радостное чувство, весенняя погода, дальний край, асфальтированная дорога.

Дальний край.

Начальная форма прилагательного - это Именительный падеж, единственное число, мужской род.

все перечисленные прилагательные стоят в И. п. и ед. ч., но мужского рода среди них только одно - дальний, так как только существительное "край" - м. р., а прилагательное всегда сочетается со своим существительным в роде, числе и падеже.