Не было никаких сомнений в звонкой душе Грэя - ни глухих ударов тревоги, ни шума мелких забот. Укажите основу предложения.

Разберем предложение по членам:

(Что делало?) не было - сказуемое (глагол).

Не было (Чего?) сомнений, ударов тревоги, шума забот - однородные дополнения (имена существительные).

Не было (Где?) в душе Грэя - обстоятельство (имена существительные).

Душе (Какой?) звонкой - определение (имя прилагательное).

Сомнений (Каких?) никаких - определение (местоимение).

Ударов (Каких?) глухих - определение (имя прилагательное).

Забот (Каких?) мелких - определение (имя прилагательное).

Односоставное предложение, есть только сказуемое - не было.