Всякие газ давит на погруженное в него тело со всех сторон: и сверху и снизу, и с боков. Почему же на тело действует в газе выталкивающая сила, всегда направленная вверх?

Потому что выталкивающая сила (Архимедова сила) всегда противоположна силе гравитации и, например, в условиях невесомости невозможна. Когда есть сила тяжести, то погруженное в жидкость тело испытывает разность давлений между нижней и верхней частями тела. Эта разность давлений и проявляется как выталкивающая сила, противоположная по направлению силе тяжести.