Под колокол воздушного насоса положили раскаленный чугунный шар и воздух из под колокола откачали. Будет ли при этом нагреваться колокол?

Будет, но медленнее, чем с воздухом. Нагретый металл испускает тепловое излучение, которое передаётся и в вакууме частицами. Если есть воздух, то теплопередача осуществляется и посредством теплопроводности через газ и через излучение. Если воздуха нет, остаётся только излучение. Кроме того, абсолютно весь воздух откачать не могли и там осталось некоторое количество частиц сильно разрежённого газа, который обладает определённой (сильно меньшей) теплопроводностью.