С какой минимальной высоты наклонной плоскости должен скользить без трения брусок, чтобы описать "мертвую петлю" радиусом R, не оказывая давленияв верхней точке петли?

R

P = 0.

hmin - ?

На брусок при прохождении верхней точки петли действует 2 силы: сила тяжести Fт, направленная вертикально вниз, сила N давления поверхности, направленная вертикально вниз.

m * a = m * g + N - 2 закон Ньютона в векторной форме.

Для проекций на вертикальную ось 2 закон Ньютона примет вид: m * a = Fт + N.

N = Fт - m * a.

Сила тяжести Fт определяется формулой: Fт = m * g.

N = m * g - m * a = m * (g - а).

Центростремительное ускорение а выразим формулой: a = V² / R.

N = m * (g - V² / R).

Так как в верхней точке Р = Т = 0, то g = V² / R.

V² = R * g.

Согласно закону сохранения энергии: m * g * hmin = m * V² / 2.

hmin = V² / 2 * g = R * g / 2 * g = R / 2.

Ответ: минимальная высота составляет половине радиусу мертвой петли: hmin = R / 2.