С какой минимальной высоты должен начать разбег велосипедист, чтобы совершить "мертвую петлю" радиусом 5 м?

R = 5 м.

hmin - ?

Для прохождения велосипедистом верхней точки мёртвой петли без падения, ускорение его движения а должно быть не больше ускорения свободного падения g.

На его действует 2 силы: сила тяжести Fт, направленная вертикально вниз, сила N давления поверхности дороги, направленная вертикально вниз.

m * a = m * g + N - 2 закон Ньютона в векторной форме.

Для проекций на вертикальную ось 2 закон Ньютона примет вид: m * a = m * g + N.

N = m * g - m * a = m * (g - а).

Центростремительное ускорение а выразим формулой: a = V² / R.

N = m * (g - V² / R).

В верхней точке велосипедист должен находиться в состоянии невесомости: N = 0.

V² = R * g.

Согласно закону сохранения энергии: m * g * hmin = m * V² / 2.

hmin = V² / 2 * g = R * g / 2 * g = R / 2.

hmin = 5 м / 2 = 2,5 м.

Ответ: минимальная высота старта велосипедиста составляет hmin = 2,5 м.