Стороны прямоугольного треугольника равны 5 см, 12 см, 13 см. Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

используя теорему синусов, найдем синус большего острого угла данного прямоугольного треугольника; используя теорему косинусов, найдем косинус большего острого угла данного прямоугольного треугольника; зная синус и косинус большего острого угла данного прямоугольного треугольника, найдем тангенс этого угла.

Решение задачи.

Находим синус большего острого угла данного прямоугольного треугольника

Известно, что в прямоугольном треугольнике больший катет лежит напротив большего острого угла, а меньший катет лежит напротив меньшего острого угла.

Согласно условию задачи, стороны данного прямоугольного треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см.

Поскольку гипотенуза в прямоугольном треугольнике всегда больше катетов этого треугольника, то в данном треугольника сторона длиной 13 см является его гипотенузой, а стороны длиной 5 см и 12 см - его катетами.

Следовательно, напортив большего острого угла данного прямоугольного треугольника лежит больший катет длиной 12 см.

Обозначим данный острый угол через α. Применяя теорему синусов для угла α, его противолежащего катета, прямого угла и гипотенузы, лежащей напротив прямого угла, получаем следующее соотношение:

12 / sin (α) = 13 / sin (90°).

Поскольку sin (90°) = 1, получаем;

sin (α) = 12/13.

Находим косинус большего острого угла данного прямоугольного треугольника

Применяя теорему косинусов для угла β, получаем следующее соотношение:

5² + 13² - 2 * 5 * 13 * cos (α) = 12².

Находим из данного соотношения cos (α):

25 + 169 - 130 * cos (α) = 144;

194 - 130 * cos (α) = 144;

130 * cos (α) = 194 - 144;

130 * cos (α) = 50;

cos (α) = 50 / 130;

cos (α) = 5/13.

Находим тангенс большего острого угла этого треугольника

tg (α) = sin (α) / cos (α) = (12/13) / (5/13) = (12/13) * (13/5) = 12/5.

Ответ: тангенс большего острого угла этого треугольника равен 12/5.

Очевидно, что из трех сторон прямоугольного треугольника большая - это гипотенуза, следовательно, стороны, равные 5 и 12 см - катеты. Также известно, что в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, следовательно больший острый угол данного треугольника лежит напротив катета, равного 12 см.

Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему, отсюда искомый тангенс большего острого угла равен 12 / 5 = 2,4.