21. Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, а высота, проведенная к нему, - 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами. 22. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведенная к основанию, - 4√91 см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

21.

Обозначим данный треугольник АВС, АС - основание, ВН - высота, K, L - точки касания вписанной окружности. Рассмотрим треугольник АВН и найдём гипотенузу АВ по теореме Пифагора.

АВ = √ (ВН² + AH²) = √ (15² + 20²) = √625 = 25 (см).

АК = АН = 20 см, СН = СL = 20 см (по теореме о двух касательных из одной точки).

ВК = АВ - АК = 25 - 20 = 5 см, BL = ВС - СL = 25 - 20 = 5 см, ВК = BL, значит, треугольник BKL - равнобедренный. Треугольники АВС и BKL - равнобедренные и подобные (общий угол АВС). Из подобия треугольников записываем отношение сторон и находим KL - расстояние между касательными.

KL / AC = BK / AB → KL = AC * BK / AB = 40 * 5 / 25 = 8 (см).

Ответ: KL равно 8 см.

22.

Обозначим данный треугольник АВС, АС - основание, ВН - высота, K, L - точки пересечения биссектрис и боковых сторон.

Высота и боковая сторона равнобедренного треугольника известны находим основание:

АС = 2 * √ (AB² - BH²) = 2 * √ (1600 - 1456) = 2 * √144 = 24 (см). Пусть АК х см, тогда ВК (40 - х) см. Записываем отношение сторон по свойству биссектрисы.

АК / АС = ВК / ВС

АК * ВС = АС * ВК

х * 40 = 24 * (40 - х)

64 х = 960

х = 15

АК = 15 см, ВК = 25 см.

Треугольники АВС и BKL - равнобедренные и подобные. Записываем отношение сторон и находим KL.

KL = AC * BK / AB = 24 * 25 / 40 = 15 (см).

Ответ: расстояние между точками пересечения 15 см.