Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3:8, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 56 см.

Обозначим данный по условию треугольник АВС, АВ = ВС. Точки Н, К, М - точки касания окружности со сторонами АВ, ВС, АС.

В решении задачи используем свойство боковых сторон равнобедренного треугольника и теорему о касательных, проведённых из одной точки.

Вводим коэффициент пропорциональности х и записываем отрезки:

АН = 3 х, ВН = 8 х.

СК = 3 х, ВК = 8 х.

АМ = АН = 3 х.

СМ = СК = 3 х.

Периметр треугольника известен по условию, составляем уравнение:

3 х + 8 х + 3 х + 8 х + 3 х + 3 х = 56

28 х = 56

х = 2

АС = АМ + СМ = 3 х + 3 х = 6 х = 12 (см).

Ответ: основание треугольника 12 см.