Докажите, что если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Пусть даны два равных угла ∠ABC и ∠A₁B₁C₁ (обозначим их как x), а также даны ∠ABD и ∠A₁B₁D₁ - углы, смежные с углами ∠ABC и ∠A₁B₁C₁ соответственно.

Из определения о смежных углах известно, что их сумма равна 180°. Следовательно:

1) ∠ABC + ∠ABD = 180°;

x + ∠ABD = 180°;

∠ABD = 180° - x.

2) ∠A₁B₁C₁ + ∠A₁B₁D₁ = 180°;

x + ∠A₁B₁D₁ = 180°;

∠A₁B₁D₁ = 180° - x.

Так как 180° - x = 180° - x, следовательно, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, что и требовалось доказать.