У какого многоугольника 9 диагоналей

Количество возможных проведенных диагоналей в многоугольнике находится по формуле:

d = (n² - 3 * n) / 2,

где d - число возможных разных диагоналей, n - количество вершин многоугольника.

Из условия известно, что в многоугольнике 9 диагоналей. Подставим данное значение в формулу и найдем количество вершин многоугольника:

(n² - 3 * n) / 2 = 9;

n² - 3 * n = 2 * 9 (по пропорции);

n² - 3 * n = 18;

n² - 3 * n - 18 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение с одной переменной.

Дискриминант:

D = b² - 4 * a * c = ( - 3) ² - 4 * 1 * ( - 18) = 9 + 72 = 81.

Найдем корни уравнения:

n₁ = ( - b + √D) / (2 * a) = ( - ( - 3) + √81) / (2 * 1) = (3 + 9) / 2 = 12/2 = 6.

n₂ = ( - b - √D) / (2 * a) = ( - ( - 3) - √81) / (2 * 1) = (3 - 9) / 2 = - 6/2 = - 3 - данный корень не имеет смысла, так как количество вершин многоугольника не может быть отрицательным.

Ответ: n = 6.

Для многоугольников диагональ - это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Для решения этой задачи нам надо определить количество вершин многоугольника, зная количество его диагоналей.

Зависимости между вершинами и диагоналями многоугольника

Количество диагоналей многоугольника будет равно количеству вершин минус три, так как из общего количества вершин, к которым можно проводить диагонали надо вычесть две соседние и саму эту вершину.

Примем следующие обозначения:

n - количество вершин многоугольника; N = 9 - количество диагоналей многоугольника; (n - 3) - количество диагоналей многоугольника, которое можно провести из каждой вершины.

Тогда количество диагоналей многоугольника будет равно:

N = n (n - 3) / 2;

На два делим потому, что каждую диагональ мы посчитали дважды.

Расчет количества вершин многоугольника

N = n (n - 3) / 2;

9 = (n^2 - 3n) / 2;

n^2 - 3n - 18 = 0;

D = 81;

n1 = (3 - 9) / 2 = - 3 не удовлетворяет условиям;

n2 = (3 + 9) / 2 = 6;

Значит, число вершин у нас равно n = 6;

Ответ: У шестиугольника 9 диагоналей.