В выпуклом многоугольнике число диагоналей, исходящих из вершины, равно 15. Найти число всех диагоналей этого многоугольника.

В этой задаче требуется посчитать количество диагоналей выпуклого многоугольника, если известно, что из каждой вершины исходит 15 диагоналей.

Данные многоугольника

Для решения рассмотрим многоугольник с n вершинами и d диагоналями, исходящими из каждой вершины:

n - количество вершин многоугольника; d - количество диагоналей, исходящих из каждой вершины; D - общее количество диагоналей выпуклого многоугольника. Подсчет количества диагоналей

Число вершин этого многоугольника равно n = 18. Это все вершины, с которыми данная вершина соединена диагоналями, и плюс сама эта вершина и две соседних. С соседними вершинами эта вершина соединена сторонами выпуклого многоугольника.

Тогда, количество диагоналей данного многоугольника будет равно произведению количества вершин на количество диагоналей, исходящих из одной вершины, деленному пополам:

D = (n · d) / 2 = (18 · 15) / 2 = 135;

На два делим, так как все диагонали многоугольника мы посчитали дважды.

Ответ: Число всех диагоналей этого многоугольника D = 135.

В выпуклом многоугольнике количество диагоналей, проведенных из одной вершины, на 3 меньше, чем число вершин данного многоугольника.

Найдем количеств вершин данного многоугольника:

d₁ = n - 3;

n = d + 3;

n = 15 + 3 = 18.

Количество всех возможных проведенных диагоналей в многоугольнике находится по формуле:

d = (n² - 3 * n) / 2,

где d - число возможных разных диагоналей, n - количество вершин многоугольника.

Мы выяснили, что у многоугольника 18 вершин. Подставим данное значение в формулу и найдем количество всех возможных диагоналей восемнадцатиугольника:

d = (18² - 3 * 18) / 2 = (324 - 54) / 2 = 270/2 = 135.

Ответ: число всех диагоналей многоугольника, в котором из одной вершины можно провести 15 диагоналей, равно 135.