В остроугольном треугольнике MNK из точки D, середины стороны MK, проведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK, докажите, что если DA=DB, то треугольник MNK равнобедренный

Рассмотрим два треугольника, MAD и DBK, по условию они прямоугольные, так как AD ⊥ MN; DB ⊥ NK, угла < MAD = 90°; < DBK = 90°, а против прямого угла находятся гипотенузы MD и DK.

Вычислим катеты треугольников MA и BK, учитывая, что MD = DK по условию. Тогда:

AM^2 = MD^2 - AD^2 в треугольнике AMD; BK^2 = DK^2 - DB^2 в треугольнике BDK. Даже не извлекая корень сделаем вывод, что AM^2 = BK^2, так как содержат в формулах MD = DK; и AD = BD по условию. Получили, что треугольники AMD и DBK равны, равны и углы < AMD = < BKD, треугольник MNK - равнобедренный.