1. В треугольнике АВС ÐС = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см, СМ - высота. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС. Найдите КМ. 2. В треугольнике АВС ÐС = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см, СМ - биссектриса. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС. Найдите КМ.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольнике АВС, где ∟С = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см, СМ - высота.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ = √ (СА² + СВ²) = √ (144 + 256) = 20.

Найдем высоту этого треугольника из формулы для площади треугольника:

S = 1/2 * AB * СМ, отсюда СМ = 2S / АВ.

Теперь найдем площадь треугольника из формулы:

S = 1/2 * АС * СВ = 1/2 * 12 * 16 = 96.

Тогда СМ = 2 * 96 / 20 = 9,6 (см).

Теперь к плоскости этого треугольника из вершины С проведем отрезок СК, перпендикулярный к плоскости треугольника. Значит получаем что треугольник КСМ - прямоугольный, где КМ - гипотенуза. Для того что бы найти КМ нужно знать отрезок КС.

А так как он не задан, то решение получаем в общем виде:

КМ = √ (КС² + СМ²) = √ (КС² + 9,6²) = √ (КС² + 92,16).

Ответ: КМ = √ (КС² + 92,16).

2. Рассмотрим прямоугольный треугольнике АВС, где ∟С = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см, СМ - биссектриса.

По теореме Пифагора гипотенузу АВ = √ (СА² + СВ²) = √ (144 + 256) = 20 (как в первой задаче).

Найдем биссектрису прямоугольного треугольника по формуле:

СМ = 2 * АС * СВ * соs45⁰ / (АС + СВ) = (2 * 12 * 16 * √2/2) / (12 + 16) = (48√2) / 7.

Теперь к плоскости этого треугольника из вершины С проведем отрезок СК, перпендикулярный к плоскости треугольника. Значит получаем, что треугольник КСМ - прямоугольный, где КМ - гипотенуза. Для того что бы найти КМ нужно знать отрезок КС.

А так как он не задан, то решение получаем в общем виде:

КМ = √ (КС² + СМ²) = √ (КС² + ((48√2) / 7) ²) ≈ √ (КС² + 95,22).

Ответ: КМ = √ (КС² + 95,22).