Даны два равнобедр треугольника АВС и АВД с общим основанием АВ. Докажите, что прямые АВ и СД перпендикулярны в случае, когда точки С и Д лежат по одну сторона от прямой АВ

1) Рассмотрим треугольник АВС, АС = ВС по условию, проведём из точки С на сторону АВ высоту СН, которая по признаку является и медианой в том числе., то есть АН = НВ.

2) Рассмотрим треугольник АВД, в котором АД = ДС, и если соединить точку Д с точной Н, то ДН - высота треугольника АДВ, потому что является ещё и медианой (АН = НВ).

3) Получили, что точки Д и С одновременно лежат на высотах ДН и СН, отрезок ДС лежит на прямой НД, которая перпендикулярна АВ.

Доказательство ещё следует из свойства перпендикуляра ДВ, восстановленного из середины АВ. На нём расположены все вершины равнобедренных треугольников.