Лена возвела натуральное число N в квадрат и сложила количество цифр в числе N с количеством цифр в числе N в квадрате. Какой результату нее мог получиться?

AРассмотрим результаты, которые могли получиться у Лены, если бы она проводила вычисления с цифрами (1, 2, ...,9).

Квадраты цифр могут быть с одним знаком или двузначными числами. Значит, Лена получила бы в результате 1 + 1 или 1 + 2 цифр, т. е. 2 или 3.

Если бы она проводила вычисления с двузначными числами

(10, 11, ...,98, 99), то возводя их в квадрат, количество цифр было бы 3 или 4. Тогда в сумме она получила бы 2 + 3 или 2 + 4, т. е. 5 или 6.

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть в числе N знаков. Его можно записать так:

10^ (N - 1) * k1 + 10^ (N - 2) * k2 + ... + 10 * (kN-1) + kN.

При возведении в квадрат этого числа, получаем число большее, чем 10^ (2 * (N - 1)) и меньшее, чем 10^ (2 * (N - 1) + 1). Значит, что число цифр будет 2 * (N - 1) или 2 * N - 1. И в сумме это даёт:

2 * (N - 1) + N или 2 * N - 1 + N, т. е. 3 * N - 2 или 3 * N - 1.