14 ежиков собрали 90 грибов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое количество грибов.

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что все 14 ежиков собрали разное число грибов.

Рассчитаем, какое минимальное число грибов ежики соберут в этом случае.

Допустим, первый ежик собрал 0 грибов.

Второй ежик не может при нашем допущении собрать тоже 0 грибов, значит он собрал как минимум 1 гриб.

Повторяя аналогичные рассуждения для каждого из последующих ежиков, получим, что третий ежик собрал 2 гриба, и т. д., последний 14-й ежик собрал 13 грибов.

Сколько же всего грибов собрали все ежики вместе?

Имеем арифметическую прогрессию с первым членом равным 0, последним членом равным 13 и числом членов 14.

S = (0 + 13) * 14 : 2 = 91.

Предположив, что все ежики собрали разное количество грибов, мы получили, что они соберут вместе как минимум 91 гриб, что противоречит условию, что они собрали 90 грибов.

Следовательно, какие - то 2 ежика собрали одинаковое количество грибов.