Доказать, что если ab и a+b делятся на с, то a3+b3 делятся на с3

Докажем, что если ab и a + b делятся на с, то a³ + b³ делятся на с², использовав формулы сокращенного умножения.

Разложим сумма кубов двух чисел, согласно этой формулы сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²). Прибавим и отнимем ко второй скобке 3ab, тогда получим:

(a + b) (a² + 2ab + b^{2 -} 3ab) = (a + b) ((a + b) ² - 3ab) = (a + b) ³ - 3ab (a + b).

Пусть от деления ab/с = n и (a + b) / c = m, тогда ab = c * n и (a + b) = c * m, сделаем замену:

(a + b) ³ - 3ab (a + b) = (c * m) ³ - 3 * c * n * c * m = c² m (cm² - 3n).

Получаем что произведение содержит множитель с², что и требовалось доказать.