Периметр прямоугольного треугольника равен 30 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите площадь этого треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, поэтому нам надо найти катеты треугольника. Если известен периметр 30 см и гипотенуза. то сумма двух катетов равна 30 - 13 = 17 (см).

Пусть один катет равен х см, тогда второй катет равен (17 - х) см. По теореме Пифагора составим уравнение и решим его.

13^2 = x^2 + (17 - x) ^2 - раскроем скобку по формуле квадрата разности двух выражений;

169 = x^2 + 289 - 34x + x^2;

2x^2 - 34x + 120 = 0 - поделим почленно на 2;

x^2 - 17x + 60 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 17) ^2 - 4 * 1 * 60 = 289 - 240 = 49; √D = 7;

x = ( - b ± √D) / (2a)

x1 = (17 + 7) / 2 = 24/2 = 12 (см) - длина первого катета, 17 - 12 = 5 (см) - длина второго катета;

x2 = (17 - 7) / 2 = 10/2 = 5 (см) - длина первого катета, 17 - 5 = 12 (см) - длина второго катета.

S = 1/2 * 12 * 5 = 6 * 5 = 30 (см^2).

Ответ. 30 см^2.