Найдите наименьшее значение f (x) = 2tg² x+5tg x+9

1. Обозначим:

tgx = y;

f (x) = 2tg^2 (x) + 5tgx + 9;

g (y) = 2y^2 + 5y + 9.

2. Найдем стационарные точки функции:

g' (y) = 4y + 5;

g' (y) = 0;

4y + 5 = 0;

4y = - 5;

y = - 5/4, точка минимума, т. к. функция от убывания переходит в возрастание.

Важен тот факт, что существует значение x, при котором y = - 5/4, поскольку область значений tgx - все множество действительных чисел.

Наименьшее значение функции:

y (min) = y (-5/4) = 2 * (-5/4) ^2 + 5 * (-5/4) + 9 = 2 * 25/16 - 25/4 + 9 = 25/8 - 25/4 + 9 = 72/8 - 25/8 = 47/8.

Ответ: 47/8.