Найдите наименьшее значение функции Y=-x^3+3x+7 на [-3; 3]

1) Вычислим производную данной функции:

у = - x³ + 3x + 7.

у' = - 3 х² + 3.

2) Приравняем производную к нулю.

у' = 0; - 3 х² + 3 = 0; - 3 х² = - 3; х² = 1; х = - 1 и х = 1.

3) Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; - 1) пусть х = - 2, у' = - 3 * (-2) ² + 3 = - 12 + 3 = - 9. Производная отрицательна, функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0, у' = - 3 * 0 + 3 = 3. Производная положительна, функция возрастает.

(1; + ∞) пусть х = 2, у' = - 3 * 2² + 3 = - 12 + 3 = - 9. Производная отрицательна, функция убывает.

4) Находим точки экстремума. Получается х_min = - 1 (точка минимума) и х_max = 1 (точка максимума). Обе точки входят в промежуток [-3; 3].

5) Вычислим минимальное значение функции в точке х_min = - 1.

у = - x³ + 3x + 7 = - (-1) ³ + 3 * (-1) + 7 = 1 - 3 + 7 = 5.

Ответ: минимальное значение функции на промежутке [-3; 3] равно 5.