Найти все корни совокупности двух равенств 3 ху-х-у=7 и ху (в квадрате только х) + ху (в квадрате только у) = 20

3 * х * у - х - у = 7.

(x^2) * y + x * y^2 = 20.

3 * х * у - (х + у) = 7.

X * y * (x + y) = 20.

X + y = 20 / (x * y).

3 * х * у - 20 / (x * y) = 7.

3 * (x * y) ^2 - 7 * x * y - 20 = 0.

X * y = (7 ± (49 + 4 * 3 * 20) ^ (1/2)) / 6 = (7 ± 17)) / 6.

1) x * y = 24/6 = 4.

X + y = 20/4 = 5.

Тогда по теореме Виета х^2 - 5 * x + 4 = 0.

X1,2 = (5 ± (25 - 4 * 4) ^ (1/2)) / 2 = (5 ± 3) / 2.

X1 = 8/2 = 4, y1 = 5 - x1 = 5 - 4 = 1.

X2 = 2/2 = 1, y2 = 5 - x2 = 5 - 1 = 4.

2) x * y = - 10/6 = - 5/3.

X + y = 20 / (-5/3) = - 12.

Тогда по теореме Виета х^2 + 12 * x - 5/3 = 0.

3 * х^2 + 36 * x - 5 = 0.

X3,4 = ( - 36 ± (1296 + 4 * 3 * 5) ^ (1/2)) / 2 = ( - 36 ± 2√339) / 2 = - 18 ± √339.

X3 = - 18 + √339, y3 = - 12 + 18 - √339 = 6 - √339.

X4 = - 18 - √339, y4 = - 12 + 18 + √339 = 6 + √339.

Решите систему уравнений:

{3xy - x - y = 7

{x²y + xy² = 20

Введение новых переменных

Преобразуем уравнения и введем новые переменные:

{3xy - x - y = 7

{x²y + xy² = 20

{3xy - (x + y) = 7

{xy (x + y) = 20

Обозначим:

x + y = p;

xy = q;

{3q - p = 7

{pq = 20

{p = 3q - 7

{q * (3q - 7) = 20

{p = 3q - 7

{3q² - 7q - 20 = 0

Решение системы уравнений относительно p и q

{p = 3q - 7

{3q² - 7q - 20 = 0

3q² - 7q - 20 = 0;

D = b² - 4ac = 7² + 4 * 3 * 20 = 49 + 240 = 289;

q = ( - b ± √D) / (2a) = (7 ± √289) / (2 * 3) = (7 ± 17) / 6;

q1 = - 10 / 6 = - 5/3;

q2 = 24 / 6 = 4.

1. q = - 5/3;

p = 3q - 7 = 3 * (-5/3) - 7 = - 5 - 7 = - 12.

2. q = 4;

p = 3q - 7 = 3 * 4 - 7 = 5.

Решение системы уравнений относительно x и y

1. q = - 5/3; p = - 12;

{x + y = - 12

{xy = - 5/3

Из обратной теоремы Виета следует, что x и y являются корнями квадратного уравнения:

r² + 12r - 5/3 = 0;

3r² + 36r - 5 = 0;

D/4 = 18² + 15 = 339;

r = (-18 ± √339) / 3 = - 6 ± √339 / 3; x = - 6 - √339 / 3; y = - 6 + √339 / 3; x = - 6 + √339 / 3; y = - 6 - √339 / 3;

(x; y) = ( - 6 - √339 / 3; y = - 6 + √339 / 3); ( - 6 + √339 / 3; y = - 6 - √339 / 3).

2. q = 4; p = 5;

{x + y = 5

{xy = 4

Из обратной теоремы Виета следует, что x и y являются корнями квадратного уравнения:

r² - 5r + 4 = 0;

D = 5² - 4 * 4 = 5² - 4 * 4 = 9;

r = (5 ± √9) / 2 = (5 ± 3) / 2;

r1 = 1; r2 = 4; x = 1; y = 4; x = 4; y = 1.

(x; y) = (1; 4); (4; 1).

Ответ: ( - 6 - √339 / 3; y = - 6 + √339 / 3); ( - 6 + √339 / 3; y = - 6 - √339 / 3); (1; 4); (4; 1).